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続１０８９ |
● ふしぎな数「１０８９」 ●
前回の「１０８９」で、寺田恵一さまからいただいたメールを紹介させていただきました。
そのとき、「果報は寝て待て」ということで、
「ほかにもあるでしょうか」という質問は、みなさまにおまかせすることにしました。
いくら寝て待てど、果報がホームページに掲載されなかったからでしょうか。
寺田さまから、先日メールの続きが届きました。
そして、このメールの中に、寺田さまの予想が述べらていていました。
予想ときたら・・・・・。
その予想が正しければ証明、まちがっていれば反例をあげる、という展開になります。
これは、ちょっと数学者気分の体験、となりそうです。
（内容は、算数ではありますが・・・・・）
さて、ふしぎな数「１０８９」は、こんな数でした。
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１０８９×１＝１０８９ ＜−−−−−＞ １０８９×９＝９８０１ １０８９×２＝２１７８ ＜−−−−−＞ １０８９×８＝８７１２ １０８９×３＝３２６７ ＜−−−−−＞ １０８９×７＝７６２３ １０８９×４＝４３５６ ＜−−−−−＞ １０８９×６＝６５３４ １０８９×５＝５４４５ ＜−−−−−＞ １０８９×５＝５４４５
このように、かける数がたして１０になるときは、数字が逆にならんでいます。
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さらに、寺田さまは続けました。間に９を入れた数を見てみたのです。
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１０９８９×１＝１０９８９ ＜−−−−−＞ １０９８９×９＝９８９０１ １０９８９×２＝２１９７８ ＜−−−−−＞ １０９８９×８＝８７９１２ １０９８９×３＝３２９６７ ＜−−−−−＞ １０９８９×７＝７６９２３ １０９８９×４＝４３９５６ ＜−−−−−＞ １０９８９×６＝６５９３４ １０９８９×５＝５４９４５ ＜−−−−−＞ １０９８９×５＝５４９４５
まだあります。 １０９９８９×１＝１０９９８９ ＜−−−−−＞ １０９９８９×９＝９８９９０１ １０９９８９×２＝２１９９７８ ＜−−−−−＞ １０９９８９×８＝８７９９１２ １０９９８９×３＝３２９９６７ ＜−−−−−＞ １０９９８９×７＝７６９９２３ １０９９８９×４＝４３９９５６ ＜−−−−−＞ １０９９８９×６＝６５９９３４ １０９９８９×５＝５４９９４５ ＜−−−−−＞ １０９９８９×５＝５４９９４５
このように９を追加しても、かける数がたして１０になるときは、数字が逆にならんでいます。 ９を追加するのは、いくつでもよさそうです。 ほかにもあるでしょうか。
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● 「１０８９」の寺田予想 ●
寺田さまは、こんな予想をたてました。
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かける数がたして１０になるときは、数字が逆にならぶ。（前回やりました）
【寺田予想】 逆に、かける数がたして１０になるとき、数字が逆にならぶのは、 １０８９、１０９８９、１０９９８９、１０９９９８９、・・・ のように間に９を入れてできた数しかない。
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そして、寺田さまは、
４桁では １０８９
５桁では １０９８９
６桁では １０９９８９
７桁では １０９９９８９
しかないことを示しました。そして、こうしめくくりました。
「８桁以上も １０９・・・９８９ しかないとは思いますが、私は数学的な証明をすることができません。」
さあ、おもしろくなってきました。
これは正しくて、あとは証明するのみなのでしょうか。
それとも、まちがっていて、反例をあげることができるのでしょうか。
● ４桁の場合 ●
寺田さまの考察はこうです。
まず、９をかけた場合を考えるのです。
最上位の数字は１しかありえません。（そうでないと繰り上がりが生じるから！）
そうすると、かけ算の九九で１の位が１になるのは、９×９＝８１だから、
最下位の位は９になります。
１・・・・・・・・・・９×９＝９・・・・・・・・・・１
さて、上から２桁目は、１または０です。（そうでないと繰り上がりが生じるから！）
ところが、もし２桁目が１なら、
１１・・・・・・・・・９×９＝９９・・・・・・・・・１
となるので、数字が逆にならぶことを考えると、下から２桁目は９のはずです。
つまり、こうなるはずです。
１１・・・・・・・・９９×９＝９９・・・・・・・・１１
ところが、９９×９をやってみると、こうなります。
１１・・・・・・・・９９×９＝９９・・・・・・・・９１
ということは、２桁目は１ではありえない、ということです。
こうして、２桁目は０しかありえません。
１０・・・・・・・・？９×９＝９・・・・・・・・・０１
さて、今度は下から２桁目を考えます。
下の位の方のかけ算を見てみると、９×９＝８１で８の繰り上がりがありながら、０になるということは・・・。
そうです。８＋２＝０になったのですから、かけ算の九九で、１の位が２になるものです。
それは、８×９＝７２ です。
１０・・・・・・・・８９×９＝９８・・・・・・・・・０１
今のところ予想通り、すべてこのような形にかぎられることが分かりました。
「１０・・・・・・・・８９」
ついでに、これで４桁の場合は１０８９以外にはないことが判明しました。
ここまでは、寺田さまのメールの紹介です。
● ５桁の場合 ●
ここから、寺田さまは、９でわったあまりを考えるという方法をとりました。
しかしここでは、小学生でも分かる、ひき算による方法を紹介しましょう。
ポイントは、これだけです。
ａ×９＝ａ×（１０−１）
＝ａ×１０−ａ
つまり、９倍するかわりに１０倍しておいて、ひき算すればいい、というものです。
さあ、引き続き９をかけた場合を考えましょう。
問題はこうです。
１０ａ８９×９＝９８ａ０１ ならば ａ＝９ となるか？
ポイントにしたがって、こう考えます。
９倍するかわりに１０倍しておいて、ひき算するのです。
すると、問題はこうなります。
１０ａ８９０−１０ａ８９＝９８ａ０１ ならば ａ＝９ となるか？
ひき算を筆算でやります。小学校でやったように、繰り下がりに気をつけながら・・・。
１ ０ ａ ８ ９ ０
−） １ ０ ａ ８ ９
９ ８ ａ ０ １
ここで、１０−１＝９ や ９０−８９＝１ をのぞくと、問題になるひき算は、これだけです。
ａ ８
−） ０ ａ
８ ａ
ここで、ふつうは下の位からやっていくひき算を、上の位から見ていくことにします。
すると、 ａ は ８ か ９ であることが分かります。
８ の場合は繰り下がりが生じません。
９ の場合は繰り下がりが生じます。
ちょっとやってみれば、８ ではありえないことが分かります。
けっきょく、９ しかありえないのです。
（反対に、９ でうまくいくことは、前回やりました。）
これで、５桁の場合は予想が正しいことが分かりました。
そのような数は 「１０９８９」だけなのです。
● ６桁の場合 ●
次は６桁です。
問題はこうです。
１０ａｂ８９×９＝９８ｂａ０１ ならば ａ＝９ ，ｂ＝９ となるか？
ポイントにしたがって、問題をこう置きかえます。
１０ａｂ８９０−１０ａｂ８９＝９８ｂａ０１ ならば ａ＝９ ，ｂ＝９ となるか？
同じく、ひき算を筆算でやります。繰り下がりに気をつけながら・・・。
１ ０ ａ ｂ ８ ９ ０
−） １ ０ ａ ｂ ８ ９
９ ８ ｂ ａ ０ １
ここで、１０−１＝９ や ９０−８９＝１ をのぞくと、問題になるひき算は、これだけです。
ａ ｂ ８
−） ０ ａ ｂ
８ ｂ ａ
またしても、ふつうは下の位からやっていくひき算を、上の位から見ていくことにします。
すると、やっぱり ａ は ８ か ９ であることが分かります。
８ の場合は繰り下がりが生じません。
９ の場合は繰り下がりが生じます。
ちょっとやってみれば、８ ではありえないことが分かります。
下を成り立たせるような ｂ なんてありえないからです。
８ ｂ ８
−） ０ ８ ｂ
８ ｂ ８
けっきょく、ａ は ９ しかありえないのです。
それなら、ｂ はどうでしょう。
９ ｂ ８
−） ０ ９ ｂ
８ ｂ ９
さきほど、ふつうは下の位からやっていくひき算を、上の位から見ていくことにします、と言いました。
これは、正確にはこう言うべきでした。
上の位を見たら、次は下の位を見るというふうに、たがいちがいにしていく、と。
さて、それでは今度は、１の位を見ます。
８ から ｂ をひいて ９ になるわけがありませんから、繰り下がりがあるのです。
すると、１８ から ｂ をひくと ９ になるとなり、これから ｂ は ９ と分かります。
これで、１０の位もバッチリです。
（反対に、９９ でうまくいくことは、前回やりました。）
これで、６桁の場合も予想が正しいことが分かりました。
そのような数は 「１０９９８９」だけなのです。
● ７桁の場合 ●
次は７桁です。
問題はこうです。
１０ａｂｃ８９×９＝９８ｃｂａ０１ ならば ａ＝９ ，ｂ＝９ ，ｃ＝９ となるか？
ポイントにしたがって、問題をこう置きかえます。
１０ａｂｃ８９０−１０ａｂｃ８９＝９８ｃｂａ０１ ならば ａ＝９ ，ｂ＝９ ，ｃ＝９ となるか？
同じく、ひき算を筆算でやります。繰り下がりに気をつけながら・・・。
１ ０ ａ ｂ ｃ ８ ９ ０
−） １ ０ ａ ｂ ｃ ８ ９
９ ８ ｃ ｂ ａ ０ １
ここで、１０−１＝９ や ９０−８９＝１ をのぞくと、問題になるひき算は、これだけです。
ａ ｂ ｃ ８
−） ０ ａ ｂ ｃ
８ ｃ ｂ ａ
まずは、上の位から見ていくことにします。
すると、やっぱり ａ は ８ か ９ であることが分かります。
８ の場合は繰り下がりが生じません。
９ の場合は繰り下がりが生じます。
がんばってやってみれば、８ ではありえないことが分かります。
下を成り立たせるような ｂ や ｃ なんてありえないからです。
＜ｂ＝８のとき＞ ＜ｂ＝９のとき＞
８ ｂ ｃ ８ ８ ８ ｃ ８ ８ ９ ｃ ８
−） ０ ８ ｂ ｃ −） ０ ８ ８ ｃ −） ０ ８ ９ ｃ
８ ｃ ｂ ８ ８ ｃ ８ ８ ８ ｃ ９ ８
けっきょく、ａ は ９ しかありえないのです。
それなら、ｂ はどうでしょう。
９ ｂ ｃ ８
−） ０ ９ ｂ ｃ
８ ｃ ｂ ９
たがいちがいに見ていくということで、今度は下で、１の位を見ます。
すると、１０の位から繰り下がりが生じていることが分かり、１８−ｃ＝９ から ｃ は ９ と分かります。
９ ｂ ９ ８
−） ０ ９ ｂ ９
８ ９ ｂ ９
また、今度は上の位を見るということで、１００の位を見てみます。
１０００の位から繰り下がりが生じていることを考えると、ｂ は ８ か ９ となりますが、
８ ではうまくいかないことが分かります。
これで、ｂ も ９ と分かります。
そうすれば、１０の位も１８から９をひいて９となり、バッチリです。
（反対に、９９９ でうまくいくことは、前回やりました。）
これで、７桁の場合も予想が正しいことが分かりました。
そのような数は 「１０９９９８９」だけなのです。
こうして、（寺田さまは、別の方法でアプローチしましたが）
とにかく４桁、５桁、６桁、７桁まで予想が正しいことが分かりました。
さあ、いよいよ次は８桁です。
予想は、本当に正しいのでしょうか。
● ８桁の場合 ●
次は８桁です。
問題はこうです。
１０ａｂｃｄ８９×９＝９８ｄｃｂａ０１ ならば ａ＝９ ，ｂ＝９ ，ｃ＝９ ，ｄ＝９ となるか？
ポイントにしたがって、問題をこう置きかえます。
１０ａｂｃｄ８９０−１０ａｂｃｄ８９＝９８ｄｃｂａ０１ ならば ａ＝９ ，ｂ＝９ ，ｃ＝９，ｄ＝９ となるか？
同じく、ひき算を筆算でやります。繰り下がりに気をつけながら・・・。
１ ０ ａ ｂ ｃ ｄ ８ ９ ０
−） １ ０ ａ ｂ ｃ ｄ ８ ９
９ ８ ｄ ｃ ｂ ａ ０ １
ここで、１０−１＝９ や ９０−８９＝１ をのぞくと、問題になるひき算は、これだけです。
ａ ｂ ｃ ｄ ８
−） ０ ａ ｂ ｃ ｄ
８ ｄ ｃ ｂ ａ
まずは、上の位から見ていくことにします。
すると、やっぱり ａ は ８ か ９ であることが分かります。
８ の場合は繰り下がりが生じません。
９ の場合は繰り下がりが生じます。
さあ、今度も、ａ は ８ ではありえないのでしょうか。
ａ を ８ として、見てみます。
８ ｂ ｃ ｄ ８
−） ０ ８ ｂ ｃ ｄ
８ ｄ ｃ ｂ ８
今度は、下の１の位を見てみます。
１０の位から繰り下がりがないなら、ｄ は ０ です。
１０の位から繰り下がりがあるなら、ｄ は ９ です。
しかし、次は上の１０００の位を見ると、ｄ は ９ ではありえません。
けっきょく、ｄ は ０ となります。
８ ｂ ｃ ０ ８
−） ０ ８ ｂ ｃ ０
８ ０ ｃ ｂ ８
さて、次は上の１０００の位を見ると、ｂ は ８ か ９ となります。
ところが、下のような ｃ はないので、ｂ は ８ ではありえません。
つまり、ｂ は ９ となります。
８ ８ ｃ ０ ８
−） ０ ８ ８ ｃ ０
８ ０ ｃ ８ ８
いよいよ、残りは ｃ です。
今度は、下の１０の位を見ます。
８ ９ ｃ ０ ８
−） ０ ８ ９ ｃ ０
８ ０ ｃ ９ ８
もちろん、１００の位から繰り下がりがあって、１０−ｃ＝９ から、ｃ は １ となります。
これで、１００の位もバッチリです。
つまり、今度はａ は ９ でなくても、８ でもありえそうです。
いよいよ、９にかぎるという予想があぶなくなってきました。
それは、どんな数でしょうか。
ａ＝８ ，ｂ＝９ ，ｃ＝１ ，ｄ＝０ ですから、１０ａｂｃｄ８９は
「１０８９１０８９」
となります！
ドッと、つかれましたね。
なんのことはない、「１０８９」を２つならべただけのものです。
「１０８９１０８９」
これなら、反対にたしかめてみなくても、うまくいくにきまっています。
さきほど、やっぱり ａ は ８ か ９ であることが分かります、と言いました。
ａ が ８ からは、「１０８９１０８９」が出てきました。
それなら、ａ が ９ からは、何が出てくるでしょうか。
そうです。ａ が ９ からは、「１０９９９９８９」が出てきます。
同じようにして、やってみてください。
これで、８桁の場合は予想が正しくないことが分かりました。
そのような数は 「１０９９９９８９」の他に
「１０８９１０８９」というトゥリビアルな（つまらない・ちっぽけな・自明な）ものがあるのです。
● ９桁の場合 ●
次は９桁です。
（えっ、反例が見つかってもやるのかって？まあ、いいじゃないですか。だって、あれはトゥリビアルですから）
問題はこうです。
１０ａｂｃｄｅ８９×９＝９８ｅｄｃｂａ０１ ならば ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝ｅ＝９ となるか？
ポイントにしたがって、問題をこう置きかえます。
１０ａｂｃｄｅ８９０−１０ａｂｃｄｅ８９＝９８ｅｄｃｂａ０１ ならば ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝ｅ＝９ となるか？
同じく、ひき算を筆算でやります。繰り下がりに気をつけながら・・・。
１ ０ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ８ ９ ０
−） １ ０ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ８ ９
９ ８ ｅ ｄ ｃ ｂ ａ ０ １
ここで、１０−１＝９ や ９０−８９＝１ をのぞくと、問題になるひき算は、これだけです。
ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ８
−） ０ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ
８ ｅ ｄ ｃ ｂ ａ
まずは、上の位から見ていくことにします。
すると、やっぱり ａ は ８ か ９ であることが分かります。
８ の場合は繰り下がりが生じません。
９ の場合は繰り下がりが生じます。
さあ、今度はどうでしょか。
ａ は ８ ではありえないのでしょうか。
まず、ａ を ８ として、見てみます。
８ ｂ ｃ ｄ ｅ ８
−） ０ ８ ｂ ｃ ｄ ｅ
８ ｅ ｄ ｃ ｂ ８
さすがに、とちゅうは全部省略すると、こうなります。
ａ＝８ ，ｂ＝９ ，ｃ＝０ ，ｄ＝１ ，ｅ＝０ 。
ですから、１０ａｂｃｄｅ８９は
「１０８９０１０８９」
となります！
またしても、ドッとつかれましたね。
なんのことはない、やっぱり「１０８９」を２つならべて、間に０を入れただけのものです。
「１０８９０１０８９」
これも、反対にたしかめてみなくても、うまくいくにきまっています。
さきほど、やっぱり ａ は ８ か ９ であることが分かります、と言いました。
ａ が ８ からは、「１０８９０１０８９」が出てきました。
それなら、ａ が ９ からは、何が出てくるでしょうか。
そうです。ａ が ９ からは、「１０９９９９９８９」が出てきます。
同じようにして、やってみてください。
これで、９桁の場合も予想が正しくないことが分かりました。
そのような数は 「１０９９９９９８９」の他に、やっぱり
「１０８９０１０８９」というトゥリビアルな（つまらない・ちっぽけな・自明な）ものがあるのです。
● 予想の変更 ●
この予想は、反例が出ておしまい、とはなりそうにありません。
そうですね。予想の変更をすればいいだけです。
寺田さまの予想は、こう変更するといたしましょう。
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【寺田予想の改訂版】 かける数がたして１０になるとき、数字が逆にならぶのは、トゥリビアルなものをのぞいて １０８９、１０９８９、１０９９８９、１０９９９８９、・・・ のように間に９を入れてできた数しかない。
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さあ、どうでしょうか。
この予想は正しくて、あとは証明するのみなのでしょうか。
それとも、まちがっていて、反例をあげることができるのでしょうか。
ちょうど夏休みも近づいてきましたね。
夏休みの自由研究にいかがでしょうか。
くれぐれも、私に答えを聞かないでください。
なんといっても、私の好きな言葉は、「果報は寝て待て」ですから。
それでは、朗報をおまちしています。
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小林吹代
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