1と0.999・・・
どちらが大きい?

● 「・・・」の意味 ●

 「1 と 0.999・・・ どちらが大きい?」

 こう聞かれたら、どう答えますか。
あ〜でもない!こ〜でもない!という人に
ちょっと聞いてみてください。

 「その前に、0.999・・・というのは、
どういう意味ですか」 と。
 そこのところを、ハッキリさせないと
話が始まらないですから ね。

 「ええっ? だって 0.999・・・って、0.999・・・でしょ?」

 そういうのが、こわいんですよ。
おもいこみっていうものです。

 だって、あなたが思っている 0.999・・・ と
わたしが思っている 0.999・・・ が
本当に、同じかどうかあやしいものです。

 だから、始めに「0.999・・・」の「・・・」のところを
あなたとわたしで、キッチリ取り決めておかないと、
あとで、そんなつもりでなかったとか
いろいろともめるもとなんです。

 


● 定義 ●

 さんすう・数学では、そういう最初の取り決めを
定義(ていぎ)とよんでいます。

 じつは、0.999・・・の取り決めは
次のようにしています。

 0.9
 0.99
 0.999
 0.9999
 0.99999

 こういう数は、小学校の小数のお勉強で
ちゃんとやりましたね。
 そこで、このような数がどんな数に近づくかを考えて
その近づいていった先の数のことを
 0.999・・・
と書き表すことにしましょうというのです。

 そりゃ 1 に近づく・・・ようね。
 そこで、

 0.9
 0.99
 0.999
 0.9999
 0.99999

などは、いつまでたっても、もちろん 1 ではないし
たしかに 1 より小さいけれど

 0.999・・・

は、最初の取り決めで、その近づいていった先の数って
決めたのですから、1そのものなのです。

 ですから、
   0.999・・・=1
ですね。

 ただし、本当に1に近づくかどうか とか
そもそも、近づくとはどういうふうに取り決めるのか とか
いろいろ疑問に感じることは、とっても大切なこと。
(このことは、高校や大学で勉強しますので
楽しみにしていてね。)

 それから、自分でいろいろ工夫して
取り決め方そのものを考えるのも、楽しいですね。
 それが、みんなに納得してもらえるものだったり、
とっても役に立つものだったら
もしかしたら、注目されるかもしれませんよ。

 


● 発展 ●

 さて、練習をしてみましょう。
 下の式をみてね。 

 1 というのは、ここでは正方形の紙1枚のこと。
 2分の1はその半分、
4分の1はそのまた半分です。

 どんどん 1 にちかづくな〜って、
絵をみれば パッと(それがまちがいのもと?)分かるよね。

             

 でも、これって
    0.999・・・=1
と同じなんだなあ。

 どこが・・・って?

 もちろん、どっちも 1 だから
なんてことではないよ。

 そのうち 「お勉強」にのせるよてい!
それまでに、考えておいてね。

 


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