自問自答（「剰余」）
● 「剰余」 ●
＜お勉強＞の「剰余」で、こんな問題を考えました。
【問題】 おかしがあります。
５人で分けると２個あまり、８人で分けると５個あまります。
さて、おかしは何個あったでしょうか。
つまり、５でわると２あまり、８でわると５あまる数をみつけなさいというのです。
答えは、もちろん（無限に）いっぱいあります。
たとえば、３７個、７７個、１１７個、１５７個、１９７個・・・などです。
これをみつけるのに、ユークリッドの互除法を使うと書いたのです。
そんなもの使わなくてもできるよ〜って、
メールをもらえるかな〜って期待していたら・・・。
ということで、自問自答ということになってしまいました。
あの時、こういうふうにやっていきました。
５人で分けると２個あまるということは、□個ずつもらったとすると
□×５＋２ 個
あったことになります。
８人で分けると５個あまるということは、○個ずつもらったとすると
○×８＋５ 個
あったことになります。
ですから、
□×５＋２ ＝ ○×８＋５
となります。
これを、（移項して）次の形にしました。
−○×８ ＋ □×５ ＝ ３ ・・・ （１）
そして、どっかで見たことあるよね〜って暗示にかけられて（？）
「ユークリッドの互除法」へと、まんまと連れ込まれてしまいました。
（さっさと他のホームページにのがれたのかも・・・）
● グラフ ●
中学生以上の方なら、○や□でなくってXやYを使いますよね。
そうすると、
−８X ＋ ５Y ＝ ３ ・・・ （２）
（これですぐに直線を思いうかべる人は、なぜか高校生以上なので）
移項して、
５Y ＝ ８X ＋ ３
８
３
Y ＝ ５ X ＋ ５
ここまでくると、傾きが ８/５ （５分の８）でY切片が ３/５ の直線ですよね。
さあ、ここで X と Y が正の整数となるものをさがします。
といっても、いきなりそれはむずかしいので、
とりあえず整数なら何でもいいやってことでさがします。
すると、だれだってすぐに X＝−１ とすれば
Y＝−１ となっていいなって気づきます。
つまり、点（−１，−１）は 直線（２）の上にあるのです。
そうすると、傾きが ８/５ （５分の８） ですから、
Xが５ふえると Yは８ふえるのですから、
点（−１，−１） −−＞ 点（４，７） −−＞ 点（９，１５） −−＞ ・・・
といくらでも見つかります。
そうすると、おかしの個数は
点（４，７）から X=４ として ８X＋５＝３７ （個）
点（９，１５）から X＝９ として ８X＋５＝７７ （個）
のように ３７個，７７個，・・・と求まります。
● 最大公約数 ●
な〜んだ！ユークリッドの互除法を使わずに答えが見つかった、
なんて思っていませんか。
そうですね。
でも、ユークリッドの互除法は使わなくてもいいけれど、
最大公約数は使っているのです。
（ユークリッドの互除法は、最大公約数の求め方でした。）
どこで使っているかって？
「だれだってすぐに X＝−１ とすれば、Y＝−１ となっていいなって気づきます。」
というところです。
じつは、この場合
−８X ＋ ５Y ＝ ３ ・・・ （２）
（２）の式の右辺の「３」が、８と５の最大公約数「１」の倍数（３倍ですね）だったため
そのようなXとYがみつかったのです。
つまり、ぐうぜん見つかったのではないってことです。
がんばれば、見つかることの保証があったのです。
これって大事なことですよね。
がんばったらむくわれるって保証があったら、だれだってがんばりますよね。
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小林吹代
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