自問自答(「剰余」)

● 「剰余」 ●

 <お勉強>の「剰余」で、こんな問題を考えました。

 【問題】 おかしがあります。
      5人で分けると2個あまり、8人で分けると5個あまります。
      さて、おかしは何個あったでしょうか。

 つまり、5でわると2あまり、8でわると5あまる数をみつけなさいというのです。

 答えは、もちろん(無限に)いっぱいあります。
 たとえば、37個、77個、117個、157個、197個・・・などです。

 これをみつけるのに、ユークリッドの互除法を使うと書いたのです。

 そんなもの使わなくてもできるよ〜って、
メールをもらえるかな〜って期待していたら・・・。

 ということで、自問自答ということになってしまいました。

 あの時、こういうふうにやっていきました。

 5人で分けると2個あまるということは、□個ずつもらったとすると

     □×5+2 個

あったことになります。

 8人で分けると5個あまるということは、○個ずつもらったとすると

     ○×8+5 個

あったことになります。

 ですから、

     □×5+2 = ○×8+5 

となります。

 これを、(移項して)次の形にしました。

    −○×8 + □×5 = 3  ・・・ (1)

 そして、どっかで見たことあるよね〜って暗示にかけられて(?)
「ユークリッドの互除法」へと、まんまと連れ込まれてしまいました。
(さっさと他のホームページにのがれたのかも・・・)

 


● グラフ ●

 中学生以上の方なら、○や□でなくってXやYを使いますよね。

 そうすると、

    −8X + 5Y = 3  ・・・ (2)

 (これですぐに直線を思いうかべる人は、なぜか高校生以上なので)
移項して、

          5Y = 8X + 3

                8        3 
           Y = 5  X  + 5

 ここまでくると、傾きが 8/5 (5分の8)でY切片が 3/5 の直線ですよね。

 

 

 さあ、ここで X と Y が正の整数となるものをさがします。

 といっても、いきなりそれはむずかしいので、
とりあえず整数なら何でもいいやってことでさがします。

 すると、だれだってすぐに X=−1 とすれば
Y=−1 となっていいな
って気づきます。

 つまり、点(−1,−1)は 直線(2)の上にあるのです。

 そうすると、傾きが 8/5 (5分の8) ですから、
Xが5ふえると Yは8ふえるのですから、

 点(−1,−1) −−> 点(4,7) −−> 点(9,15) −−> ・・・

といくらでも見つかります。

 そうすると、おかしの個数は

    点(4,7)から X=4 として 8X+5=37 (個)

    点(9,15)から X=9 として 8X+5=77 (個)

のように 37個,77個,・・・と求まります。

 


● 最大公約数 ●

 な〜んだ!ユークリッドの互除法を使わずに答えが見つかった、
なんて思っていませんか。

 そうですね。
 でも、ユークリッドの互除法は使わなくてもいいけれど、
最大公約数は使っているのです。
 (ユークリッドの互除法は、最大公約数の求め方でした。)

 どこで使っているかって?

 「だれだってすぐに X=−1 とすれば、Y=−1 となっていいなって気づきます。」
というところです。

 じつは、この場合

    −8X + 5Y = 3  ・・・ (2)

(2)の式の右辺の「3」が、8と5の最大公約数「1」の倍数(3倍ですね)だったため
そのようなXとYがみつかったのです。

 つまり、ぐうぜん見つかったのではないってことです。
 がんばれば、見つかることの保証があったのです。

 これって大事なことですよね。
 がんばったらむくわれるって保証があったら、だれだってがんばりますよね。

 


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